说明：在本卷中， 表示矩阵 的转置矩阵， 表示矩阵 的伴随矩阵， 是单位矩阵， 表示方阵 的行列式， 表示矩阵 的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．行列式 第二行第一列元素的代数余子式 =（　　　）

A．-2                                                              B．-1

C．1                                                                D．2

2．设 为2阶矩阵，若 =3，则 （　　　）

A．                                                              B．1

C．                                                               D．2

3．设 阶矩阵 、 、 满足 ，则 （　　　）

A．                                                            B．

C．                                                      D．

4．已知2阶矩阵 的行列式 ，则 （　　　）

A．                                                 B．

C．                                                 D．

5．向量组 的秩不为零的充分必要条件是（　　　）

A． 中没有线性相关的部分组       B． 中至少有一个非零向量

C． 全是非零向量                         D． 全是零向量

6．设 为 矩阵，则 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是（　　　）

A．                                                     B．

C．                                                     D．

7．已知3阶矩阵 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（　　　）

A．                                                              B．

C．                                                      D．

8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（　　　）

A．                                                  B．

C．                                                  D．

9．4元二次型 的秩为（　　　）

A．1                                                               B．2

C．3                                                                D．4

10．设矩阵 ，则二次型 的规范形为（　　　）

A．                                               B．

C．                                               D．

 

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

       请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．已知行列式 ，则 ______.

12．已知矩阵 ，且 ，则 =______.

13．设矩阵 ，则 ______.

14．已知矩阵方程 ，其中 ，则 ______.

15．已知向量组 线性相关，则数 ______.

16．设向量组 ，且 ，则向量组 的秩为______.

17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为 ，若该方程组无解，则  的取值为______.

18．已知3阶矩阵 的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______.

19．已知向量 与 正交，则数 ______.

20．已知3元二次型 正定，则数 的最大取值范围是______.

 

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21．计算行列式 的值.

22．设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，求| |.

23．已知线性方程组

(1)讨论常数 满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．

24．设向量组 ，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

25．设矩阵 ，存在 ，使得

；存在 使得 .试求可逆矩阵 ，使得 .

26．已知二次型 ，求一正交变换 ，将此二次型化为标准形．

四、证明题(本题6分)

27．设向量组 线性无关，且 ．证明：若 ≠0，

 

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