试卷说明：在本卷中，A^T表示矩阵A的转置矩阵；A^*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α₁，α₂，α₃），其中α_i（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α₁+2α₂，α₂，α₃）|=6，则| A |=(      )

A.-12                                                            B.-6

C.6                                                                D.12

2.计算行列式 =(      )

A.-180                                                           B.-120

C.120                                                            D.180

3.若A为3阶方阵且| A^-1 |=2，则| 2A |=(      )

A.                                                              B.2

C.4                                                                D.8

4.设α₁，α₂，α₃，α₄都是3维向量，则必有(      )

A.α₁，α₂，α₃，α₄线性无关                    B.α₁，α₂，α₃，α₄线性相关

C.α₁可由α₂，α₃，α₄线性表示                D.α₁不可由α₂，α₃，α₄线性表示

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=(      )

A.2                                                               B.3

C.4                                                                D.5

6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则(      )

A.A与B相似                                                B.| A |=| B |

C.A与B等价                                                D.A与B合同

7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=(      )

A.0                                                               B.2

C.3                                                                D.24

8.若A、B相似，则下列说法错误的是(      )

A.A与B等价                                                B.A与B合同

C.| A |=| B |                                                    D.A与B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=(      )

A.-2                                                              B.0

C.2                                                                D.4

10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则(      )

A.A正定                                                       B.A半正定

C.A负定                                                       D.A半负定

 

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设A= ,B= ，则AB=_________________.

12.设A为3阶方阵，且| A |=3， 则| 3A^-1 |=______________.

13.三元方程x₁+x₂+x₃=1的通解是_______________.

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.

16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2， ，1，则| 5A^-1 |=______________.

17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.

18.实对称矩阵 所对应的二次型f (x₁, x₂, x₃)=________________.

19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α₁= ，α₂= 且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.

20.设α= ，则A=αα^T的非零特征值是_______________.

 

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算5阶行列式D=

22.设矩阵X满足方程

  X =

求X.

23.求非齐次线性方程组

的通解.

24.求向量组α₁=（1,2，-1,4），α₂=(9,100,10,4)，α₃=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

25.已知A= 的一个特征向量ξ=（1,1，-1）^T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.

26.设A= ，试确定a使r(A)=2.

 

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α₁，α₂，α₃是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α₂-α_l，α₃-α_l是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

 

 

 

 

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