全国2009年4月高等教育自学考试 线性代数试题 课程代码：02198

 

说明：在本卷中，A^T表示矩阵A的转置矩阵，A^*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵， 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。TblPRGyfpmgUnLuklrch

1．3阶行列式 中元素a₂₁的代数余子式A₂₁=（　　　）

A．-2                                                            B．-1mFkMJDJBYAPIoXvwEVBe

C．-1                                                            D．2

2．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B^-1=（　　　）湖北快学网www.hbkxw.com

A．A^-1C^-1                                                       B．C^-1A^-1

C．AC                                                           D．CA

3．设3阶矩阵A= ，则A²的秩为（　　　）武汉自考网hbkxw.com

A．0                                                             B．1

C．2                                                              D．3shaGpNOdntVRlYJhjxRW

4．设矩阵A= ，B= ，P₁= ，P₂= ，则必有（　　　）

A．P₁P₂A=B                                                  B．P₂P₁A=BTblPRGyfpmgUnLuklrch

C．AP₁P₂=B                                                  D．AP₂P₁=B

5．设向量组α₁, α₂, α₃, α₄线性相关，则向量组中（　　　）

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合湖北快学网www.hbkxw.com

B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合xqWgEXmedMCcJTxzoHNX

C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合rchixqWgEXmedMCcJTxz

6．设α₁, α₂, α₃, α₄是一个4维向量组，若已知α₄可以表为α₁, α₂, α₃,的线性组合，且表示法惟一，则向量组α₁, α₂, α₃, α₄的秩为（　　　）

A．1                                                             B．2

C．3                                                              D．4

7．设α₁, α₂, α₃是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（　　　）kDqcZBWjvyvwLwCebuis

A．α₁, α₂, α₁+α₂                                                                         B．α₁, α₂, α₁-α₂

C．α₁+α₂, α₂+α₃, α₃+α₁                                               D．α₁-α_2，α₂-α_3，α₃-α₁

8．设A为3阶矩阵，且 =0，则A必有一个特征值为（　　　）EFmFkMJDJBYAPIoXvwEV

A．-                                                           B．-

C．                                                             D． sQshaGpNOdntVRlYJhjx

9．设实对称矩阵A= ，则3元二次型f(x₁,x₂,x₃)=x^TAx的规范形为（　　　）

A． + +                                               B． + -

C． +                                                      D． - shaGpNOdntVRlYJhjxRW

10．设2元二次型f(x₁,x₂)=x^TAx正定，则矩阵A可取为（　　　）

A．                                               B．

C．                                                D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

       请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设3阶行列式D₃的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D₃=___________。

12.已知3阶行列式 =6，则 =___________。

13.设A= ，则A²-2A+E=___________。rchixqWgEXmedMCcJTxz

14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B= ，则A=___________。TNBLjLaSYIGHoGMOkElc

15.设3阶矩阵A= ，则A^-1=___________。

16.设向量组a₁=(a,1,1),a₂=(1,-2,1),a₃=(1,1,-2),线性相关，则数a=___________。

17.3元齐次线性方程组 的基础解系中所含解向量的个数为___________。武汉自考网,湖北快学网上报名,湖北自考成绩查询,武汉自考报名,湖北自考成绩查询,湖北自学考试网

18.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则 =___________。

19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为α₁=(1,1)^T，α₂=(1,k)^T，则数k=___________。

20.二次型f(x₁,x₂,x₃)=(x₁-x₂)²+(x₂-x₃)²的矩阵A=___________。hqoiWonwMmTEikyRXiFY

 

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算4阶行列式 .

22.设2阶矩阵A= ，P= ，矩阵B满足关系式PB=A^*P，计算行列式 .kDqcZBWjvyvwLwCebuis

23.求向量组α₁=(1,1,1,3)^T，α₂=(-1,-3,5,1)^T，α₃=(3,2,-1,4)^T，α₄=(-2,-6,10,2)^T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.OdVtDSMZKiKGYfIfgUFL

24.设3元齐次线性方程组 武汉自考网,湖北快学网上报名,湖北自考成绩查询,武汉自考报名,湖北自考成绩查询,湖北自学考试网

（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.zoHNXUOdVtDSMZKiKGYf

25.设矩阵B= ，

（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；

（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵∧和可逆矩阵P，使P^-1BP=∧.IbhqoiWonwMmTEikyRXi

26.设3元二次型f(x₁,x₂,x₃)= + + -2x₁x₂-2x₂x₃，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.

 

四、证明题（本大题6分）

27.设矩阵A= ，其中a₁,a₂,a₃互不相同，证明：与ElcACQkpZwxFXDfcvcmR