试卷说明：在本卷中，A^T表示矩阵A的转置矩阵，A^*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A^-1表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．线性方程组 的解为（　　　）

A．x=2,y=0,z=-2                                              B．x=-2,y=2,z=0

C．x=0,y=2,z=-2                                               D．x=1,y=0,z=-1

2．设矩阵A= ，则矩阵A的伴随矩阵A^*=（　　　）

A．                                                       B．

C．                                                       D．

3．设A为5×4矩阵，若秩（A）=4，则秩（5A^T）为（　　　）

A．2                                                               B．3

C．4                                                                D．5

4．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（　　　）

A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关        B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关

C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关        D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关

5．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（　　　）

A．2                                                               B．3

C．4                                                                D．5

6．设m×n矩阵A的秩为n-1，且 ₁， ₂是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（　　　）

A．k ₁，k∈R                                                B．k ₂，k∈R

C．k ₁+ ₂，k∈R                                          D．k( ₁- ₂),k∈R

7．对非齐次线性方程组A_m×nx=b，设秩（A）=r，则（　　　）

A．r=m时，方程组Ax=b有解                         B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解

C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解                  D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解

8．设矩阵A= ，则A的线性无关的特征向量的个数是（　　　）

A．1                                                               B．2

C．3                                                                D．4

9．设向量 =（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（　　　）

A．                                                            B．

C．                                                           D．

10．二次型f（x₁，x₂）= 的规范形是（　　　）

A．                                                      B．

C．                                                    D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．3阶行列式 =_________.

12．设A=（3，1，0），B= ，则AB=_________.

13．设A为3阶方阵，若|A^T|=2，则|-3A|=_________.

14．已知向量 =（3，5，7，9）， =（-1，5，2，0），如果 + = ，则 =_________.

15．设A= 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组 的解为_________.

16．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为

，则该方程组的通解为_________.

17．已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则 _________.

18．已知向量 =（1，2，-1）与向量 =（0，1，y）正交，则y=_________.

19．二次型f (x₁,x₂,x₃,x₄)= 的正惯性指数为_________.

20．若f (x₁,x₂,x₃)= 为正定二次型，则 的取值应满足_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式D=

22．设A= ，B= ，又AX=B，求矩阵X.

23．设矩阵A= ，B= ，求矩阵AB的秩.

24．求向量组 ₁=（1，4，3，-2）， ₂=（2，5，4，-1）， ₃=（3，9，7，-3）的秩.

25．求齐次线性方程组 的一个基础解系.

26．设矩阵A= ，求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵.

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设向量组 ₁， ₂， ₃线性无关， ₁= ₁+ ₂， ₂= ₂+ ₃， ₃= ₃+ ₁，证明：向量组 ₁， ₂， ₃线性无关.